Sisteme de ecuatii diferentiale. Ecuatii cu derivate partiale de primul ordin. Teoria Hamilton-Jacobi probleme de optim

Textul de fata constituie continuarea logica a cartii "Ecuatii diferentiale liniare - Teorie clasica si moderna", publicata in 2014, cuprinzand Teoria Ecuatiilor Pfaff, a Sistemelor diferntiale si Teoria Ecuatiilor cu derivate partiale de primul ordin.

CAPITOLUL 6. FORME DIFERENṬIALE. ECUAṬII PFAFF
Forme diferențiale de gradul întȃi (1 – forme)
Ecuații Pfaff
Produsul exterior al formelor diferențiale
Diferențiala exterioară a formelor diferențiale
Forme închise – Forme exacte
Ecuația Pfaff în R^n, n>3,ω=∑_(j=1)^na_j (x)dx_j=0
Teoria cȃmpurilor din R^n şi formele diferențiale (n≥2)

CAPITOLUL 7. SISTEME DIFERENṬIALE
Generalități
Reducerea Sistemelor diferențiale la o singură ED
Teorema de existență pentru solutiile SD
i. Metoda aproximațiilor successive
ii. Existența soluțiilor utilizând metoda diferențelor finite
iii. Existența şi unicitatea soluției SD x ̇=f(t,x)
III’ Lema Hadamard (extensie a derivatei după o direcție)
Teoreme locale de continuitate şi derivabilitate a soluțiilor conținând parametric
Stabilitatea soluțiilor sistemelor diferențiale
1. Generalități
2. Inegalitatea Gronwall şi consecințele ei în teoria SD
3. Teorema de stabilitate Liapunov
4. Criterii de stabilitate Liapunov (continuare)
5. SD periodice

CAPITOLUL 8. ECUAṬII CU DERIVATE PARṬIALE LINIARE, DE ORDINUL îNTâI
Integrale prime pentru SD autonome
EDP liniare, de primul ordin
i. Generalități
ii. Exemple
Problema Cauchy (PC) pentru EDP liniare de primul ordin
Existența soluției problemei Cauchy
Unicitatea soluției problemei Cauchy pentru EDP de ordinul întȃi
Problema Cauchy (PC) generală, PC restrȃnsă
Completări

CAPITOLUL 9. INTEGRALA COMPLETĂ ŞI TEORIA HAMILTON - JACOBI
Introducere
Integrala completă a EDP F(x,y,u,p,q)=0,p=∂u/∂x,q=∂u/∂y
Integrala completă în R^n,n>2
i. Preliminarii
ii. Sistemul Hamilton linear
iii. Sistemul canonic şi optimul funcționalelor de tip integral
iv. Integrala completă. Teorema Jacobi
v. Sistemul Euler – Lagrange
vi. Sistemul Euler – Lagrange şi optimul funcționalelor pe spații de funcții de o variabilă reală
vii. Forma integrală a sistemului Euler – Lagrange – teoria P. Du Bois Raymond
viii. Variația sincronă şi asincronă a integralelor ∫_(t_1)^(t_2)L(t,x(t),x ̇(t)) dt
ix. Distanța geodezică (eikonalul) şi EDP Hamilton – Jacobi
x. Completări – concretizări
1. Extremalele pe spații de funcții de o variabilă reală: ED Euler
2. Distanța geodezică (eikonalul) pentru soluții – funcții de o variabilă reală
3. Transversalitate
4. Geometria elementară şi distanța geodezică
5. Modelul Poincaré pentru geometria Lobacevski în R^2
6. Principiul lui Fermat (principiul timpului minim)
7. Principiile de optim ale mecanicii

CAPITOLUL 10. EDP NELINIARE DE ORDINUL îNTâI
I. Introducere
II.Metoda caracteristicilor (Cauchy) pentru EDP F(x,y,z,p)=0
1. Cazul n=2
2. Cazul n>2
3. Completări